ĐIỀU KHIỂN THÍCH NGHI BỀN VỮNG CHO LỚP ĐỐI TƯỢNG PHI TUYẾN SISO CÓ MÔ H̀NH BẤT ĐỊNH TRÊN CƠ SỞ HỆ MỞ

 

Trần Quang Tuấn                                 Phan Xuân Minh

Bộ Khoa học và Công nghệ                    Trường ĐHBK Hà Nội

 

TÓM TẮT

            Bài báo đề xuất phương pháp thiết kế bộ điều khiển thích nghi bề vững sử dụng bộ xấp xỉ mờ (Robust Control Using unversal Approximator) viết tắt là RACUA cho các đối tượng phi tuyến SISO có mô h́nh bất định. Luật điều khiển thích nghi bền vững được xây dựng trên kỹ thuật cuốn chiếu (Backstepping), các đặc tính phi tuyến bất định được xấp xỉ bằng hệ lôgic mờ FLS. RACUA đảm bảo hệ kín ổn định toàn cục và sai lệch bám bằng 0.

 

Kư hiệu                        Ư nghĩa                                    chữ viết tắt

Ri                     Luật suy diễn mờ thứ i                           SISO                Single Input – Single Output

F(x)                  Đầu ra của FLS                                     RAC                 Robust Adaptive Control

                    Véc tơ tham số                                     RACUA             Robust Adaptive Control Using

                                                                                                            universal Approximator

h(x)                   Véc tơ các hàm mờ cơ sở                     FLS                  Fuzzy Logic System     

              Hàm thuộc                                            AFLC                Adaptive Fuzzy Control

x(t)                   Véc tơ trạng thái của hệ                         SMC                 Sliding Mode Control

y(t)                   Tín hiệu ra                                             FBF                  Fuzzy Basis Function

u(t)                   Tín hiệu điều khiển

z(t)                    Véc tơ sai lệch trạng thái

                     Véc tơ tham số bất định

                     Véc tơ cấu trúc bất định

V(.)                   Hàm Lyapunov

                     Biểu thức bền vững

                     Véc tơ tham số

                     Véc tơ tham số xấp xỉ

                     Sai lệch giữa véc tơ tham số xấp xỉ và véc tơ tham số

                     Ma trận chỉnh định thích nghi

                    Biểu thức điều khiển ở bước thứ i

 

 

 

1. ĐẶT VẤN ĐỀ.

 

            Trọng điểm nghiên cứu về điều khiển thích nghi ở cuối thế kỷ XX là các bộ điều khiển thích nghi bền vững RAC cho một lớp đối tượng phi tuyến có mô h́nh bất định. Một kỹ thuật mới đáng được ghi nhận, v́ nó là cơ sở để thiết kế các luật điều khiển thích nghi đó là kỹ thuật cuốn chiếu do Kanellakopoulos đề xuất. Trên cơ sở kỹ thuật này, các phương pháp thiết kế bộ điều khiển thích nghi đă được tŕnh bày một cách hệ thống. Vấn đề ổn định bền vững được giải quyết bằng cách kết hợp điều khiển thích nghi với bộ suy giảm phi tuyến (nonlinear damping) hoặc kết hợp giữa điều khiển thích nghi với điều khiển trượt truyền thống (Sliding Mode Control – SMC). Nhưng hạn chế của các phương pháp này là ở chỗ sai lệch bám tiến về 0 chứ không bằng 0 và chỉ thích hợp với một lớp mô h́nh phi tuyến đơn giản, số lượng các đặc tính phi tuyến nhỏ. Để khắc phục nhược điểm trên, một số hướng nghiên cứu điều khiển thích nghi được phát triển trên cơ sở hệ logic mờ, được gọi là điều khiển mờ thích nghi viết tắt là AFLC đă mang lại những kết quả đáng ghi nhận. Đặc biệt là dựa trên lư thuyết xấp xỉ toàn năng, phương pháp AFLC cung cấo những bộ điều khiển đảm bảo hệ kín ổn định toàn cục theo nghĩa Lyapunov cho các đối tượng phi tuyến mạnh trên cơ sở các hàm xấp xỉ. Tuy nhiên AFLC chỉ sử dụng được các đối tượng phi tuyến thoả măn kích thích bền.

            Để giải quyết các vấn đề nêu trên, một phương pháp thiết kế bộ điều khiển kết hợp giữa kỹ thuật RAC và kỹ thuật AFLC được đề xuất ở đây. Bộ điều khiển thích nghi bền vững sử dụng bộ xấp xỉ vạn năng RACUA được thiết kế trên cơ sở kỹ thuật cuốn chiếu và đặc tính phi tuyến bất định được xáp xỉ trên cơ sở hệ mờ logic FLS. Biểu thức bền vững xuất hiện trong kỹ thuật cuốn chiếu khi thiết kế luật điều khiển thích nghi được sử dụng để xấp xỉ các đặc tính phi tuyến của đối tượng và chọn tham số thích nghi thích hợp. Chính v́ thế biểu thức bền vững có khả năng bù dần sai lệch mô h́nh và tham số thích nghi. RACUA được ứng dụng để điều khiển các đối tượng phi tuyến SISO có mô h́nh bất định, đảm bảo hệ kín ổn định toàn cục và sai lệch bám bằng 0.

 

2. CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP RACUA.

 

2.1. Hệ logic mờ FLS.

            Hiện nay, có rất nhiều phương pháp thực hiện các luật suy diễn mờ có cấu trúc Nếu…Th́…, kết quả của việc thực hiện này được phản ánh khác nhau thông qua việc lựa chọn cơ chế suy diễn mờ (Fuzzy Inference Engine). Ví dụ như chúng ta có thể chọn cơ chế suy diễn kiểu MaxMIN, SumMIN, MaxPROD hoặc SumPROD. Ngoài ra c̣n có thể lựa chọn các phương pháp mờ hóa và giải mờ khác nhau để thiết kế một hệ logic mờ. FLS được sử dụng trong phương pháp RACUA là để nhận dạng những đặc tính phi tuyến bất định của đối tượng, có nghĩa là sử dụng FLS như một bộ xấp xỉ vạn năng. Chính v́ thế FLS được sử dụng ở đây là hệ logic mờ SISO có các tập mờ dạng Gauss cho cả biến ngôn ngữ đầu vào và đầu ra, cơ chế suy diễn MaxPROD và giải mờ theo phương pháp điểm trọng tâm.

            Hệ luật cơ sở bao gồm các luật suy diễn kiểu Nếu…Th́… có dạng như sau:

Rl : Nếu x1 = F1l VÀ …VÀ  xn = Fnl Th́ y = Gl  (1)

Với:

            X = [x1x2……..xn]l  X = X1xX2x…….xXn  Rn.

Và y Y R là đầu vào và đầu ra của FLS, Fil, Gl là nhăn của các tập mờ trên nền Xi, Y và l = 1, 2, 3, …., M là số luật mờ của hệ luật cơ sở. Nếu chọn mô h́nh mờ như trên, ta có quan hệ vào ra của FLS được biểu diến theo công thức sau đây:

 

 

                                   (2)                                           

Với f:  ,  là những hàm thuộc của FLS,   là giá trị lớn nhất của . Nếu cố định  và coi là tham số cần chỉnh định, ta có thể biểu diễn công thức (2) dưới dạng sau:

                                                                    (3)

Với    là vec tơ tham số,  và hi(x) là các hàm cơ sở mờ, viết tắt là FBF, đươc định nghĩa như sau:

 

                                                                                    (4)

Vớilà các hàm thuộc kiểu Gauss có dạng:ư

                                                                            (5)

Với là các tham số cố định.

            Ưu điểm cơ bản của FLS là có khả năng xấp xỉ một hàm phi tuyến bất kỳ với sai số tùy chọn. Định lư về xấp xỉ vạn năng được phát biểu như sau:

 

Định lư: đối với mỗi hàm liên tục thực được định nghĩa trên tập đủ  và một  tùy ư đều tồn tại một hệ logic mờ FLS có mô h́nh (3) với hàm thuộc (5) đảm bảo  

Phần chứng minh định lư có thể tham khảo ở các tài liệu [1], [3] và [4].

 

2.2. RACUA cho đối tượng bậc 1

 

Đối tượng phi tuyến SISO có mô h́nh:

                                                               (6)

Trong đólà các tham số chưa biết trước và  là hàm phi tuyến bất định của (6). Với giả thiết là   bị chặn bởi:

                                                               (7)

 

Với   

Theo định lư về xấp xỉ vạn năng, tồn tại cho hẹ phi tuyến (6) một bộ xấp xỉ FLS có mô h́nh (3) và dạng hàm thuộc (5) đảm bảo:

                                                             (8)

 

Với: , và sai số  tùy ư. Như vậy, có thể biểu diễn hệ (6) dưới dạng sau:

 

                                                             (9)

Với             

            Trên cơ sở luật điều khiển thích nghi bền vững RAC [2], [8], và [9] có thể thiết kế được luật điều khiển u(t) để tín hiệu ra x(t) bám tiệm cận tín hiệu mẫu xđ(t). Trên cơ sở kết hợp RAC với bộ xấp xỉ FLS c̣n thiết kế được luật điều khiển u(t) đảm bảo hệ kín ổn định toàn cục và sai lệch bám tiến đến 0. Trong trường hợp này, FLS được sử dụng để xấp xỉ những đặc tính phi tuyến chưa biết trước của đối tượng, đó là vec tơ tham số   của mô h́nh. Định nghĩa về véc tơ tham số    của đối tượng và tham số xấp xỉ    của FLS:

                                                                                 (10)

Và miền giá trị chặn cho trước của sai số mô h́nh:

                        ,                                                (11)

Trên cơ sở này, ta đề xuất một hàm Lyapunov

                         ,         (12)

Là hàm có dấu xác định dương và phụ thuộc vào  và ta có:

                                                                   (13)

Với  . Hàm  là một phần của hàm Lyapunov của hệ kín. Luật điều khiển RACUA cho đối tượng (9) được đề xuất như sau:

                                                                    (14)

Với k > 0 và z = x – xd. Để đảm bảo hệ kín ổn định bền vững biểu thức  phải thỏa măn các điều kiện sau:

                                        (15)

Từ (9) và (14) ta có:

                                                   (16)

Và luật chỉnh định thích nghi được chọn có dạng như sau:

                                                                        (17)

Như vậy, với luật điều khiển (14),  thỏa măn điều kiện (15) và đối tượng có mô h́nh (9), hệ kín đạt được chất lượng sau đây:

            Nếu v # 0, hệ đảm bảo điều kiện bám tiệm cận nhưng sai lệch khác 0. Tốc độ bám và giá trị sai lệch có thể thay đổi được bằng cách chỉnh định tham số của luật điều khiển u(t).

            Nếu v = 0, hệ đảm bảo điều kiện bám tiệm cận và sai lệch bám bằng 0.

            Để đảm bảo hệ kín ổn định bền vững hàm  được chọn như sau:

  1. Hàm dấu (SMC-Sliding Mode Control)

(18)

  1. Hàm băo ḥa (SCM-Staturation Continous Modification)

(19)

 

 

                       
            

                                               

  1. Hàm tang hybebol (HTSM-Hyperbolic Tangent Smooth Modification)

                (20)

 

  1. Hàm suy giảm phi tuyến (NDSM-Nonlinear Damping Smooth Modification)

(21)

Các hàm   được lựa chọn theo mô h́nh động học của đối tượng và yêu cầu về chất lượng bám [10]. Hàm    trong công thức (19) đảm bảo sai lệch bám bằng 0, c̣n sử dụng các hàm    khác không đảm bảo sai lệch bám bằng 0 nhưng tốc độ bám lại nhanh hơn.

 

2.3 RACUA cho hệ phi tuyến bậc n

 

            Kỹ thuật RACUA được sử dụng để thiết kế điều khiển các đối tượng phi tuyến có bậc tương đối xác định. Nét chung của các ứng dụng này là sử dụng kỹ thuật RACUA kết hợp với thuật toán thích nghi cuốn chiếu (ABA-Adaptive Backstepping Algorithm) [2], [9].

            Hệ phi tuyến SISO được biểu diễn dưới dạng hồi tiếp chặt tham số PTF (PTF-Paramter Trict Feedback):

                           1< i<n-1

                                                .

                                                .

                                                .

                       

                                   

Với (15)

là những hàm trơn, biết trước.   là một hàm trơn, bị chặn và khác không.   là những tham số bất định của hệ thỏa măn giả thiết sau đây:

                                         i = 1, 2, …, n     (16)

            Điều đó có nghĩa là miền xác định của các tham số bất định của hệ đă được biết trước. Từ 2.2, ta có thể đề xuất các bước thiết kế luật điều khiển RACUA cho đối tượng phi tuyến SISO có bậc tương đối bằng n.

 

Bước 1: từ phương tŕnh thứ nhất trong (15)

 

                                                           (17)

Ta định nghĩa một tín hiệu điều khiển ảo bằng , (yr(t) là đầu ra mẫu của hệ). Trên cơ sở (17) và tín hiệu điều khiển ảo, ta xác định được tín hiệu điều khiển

                                                      (18)

Với z1 = x1 - yr(t) và  là biểu thức bền vững đầu tiên và biểu thức này cần phải thỏa măn điều kiện (15). Do  không phải là tín hiệu điều khiển thực mà chỉ là tín hiệu điều khiển ảo cho nên chúng ta phải chọn hàm chỉnh định đầu tiên

                                                                    (19)

Với      

để điều chỉnh một phần trong luật điều khiển thích nghi (17). Từ đó, ta định nghĩa biến sai lệch thứ hai z2 phụ thuộc vào   có dạng như sau:

                                                                        (20)

thay (20) và (18) vào (17), ta nhận được phương tŕnh trạng thái cho hệ con đầu tiên

                                                            (21)

và hà Lyapunov được đề xuất:

                                                                                               (22)

với w > 0 là trọng số.

 

Bước 2,…, n-1: Trước tiên là xác định biến trạng thái zi là đạo hàm bậc thứ i của sai lệch xi, yr    theo công thức:

 

                        ,   i =  1, 2, 3,…n-1  (23)

Với

                       

                                                                    (24)

 

 

 

Với

                                                           (25)

Như vậy đạo hàm sai lệch của hệ con thứ i được xác định bằng công thức:

 

                                                              (26)

Với      

Hàm Lyapunov thứ i được lựa chọn

                                     wi > 0                                      (27)

Và đạo hàm Vsi có dạng như sau:

                                               (28)

 

Với

 

Sau khi tính toán xong bước thứ n – 1, ta đi đến bước cuối cùng của thuật toán.

Bước n: ở bước này, ta thay vào (17). Các phương tŕnh (24) đến (28) cũng được sử dụng để tính cho bước n. Với zn+1 = 0, ta xác định được luật điều khiển thực u(t):

 

                                                                    (29)

 

Với được xác định từ phương tŕnh (24) bằng cách thay i = n. Luật chỉnh định thích nghi cho bước cuối cùng có dạng:

                                                              (30)

Phương tŕnh sai lệch trạng thái bậc n của hệ có dạng:

 

 

                       

 

(31)

 

 

 

 

 

Và đạo hàm của Lyapunov Vsn được biểu diễn như sau:

 

                                                          (32)

 

Để đảm bảo (32) có dấu xác dịnh âm biểu thức bền vững   phải thỏa măn các điều kiện sau đây:

 

                                                       (33)

 

Với  là một hàm số xác dịnh dương và bị chặn.     là một hàm số trơn, xác định dương.

            Như vạy, bằng luật điều khiển (29), luật chỉnh định thích nghi (30) và biểu thức bền vững thỏa măn điều kiện (33), hệ phi tuyến có mô h́nh (15) đảm bảo sai lệch bám tiến đến 0 nếu 

 

3. KẾT LUẬN

 

            Phương pháp RACUA do H.Lee và M.Tomizuka đề xuất cho phép thiết kế điều khiển cho các đối tượng không đầy đủ, mô h́nh nhiều yếu tố bất định đảm bảo hệ kín ổn định toàn cục và sai lệch bám tiến về 0. Nhưng để sử dụng được phương pháp, đ̣i hỏi chúng ta phải xác định được miền giới hạn của các tham số bất định của hệ. Như vậy, muốn áp dụng phương pháp vào thiết kế trước tiên phải tiến hành thực nghiệm để xác định miền giới hạn của tham số bất định. Điều đó không phải lúc nào cũng dẽ dàng thực hiện. Đó cũng chính là những hạn chế phương pháp.

EYETECK.VN (Theo BCKH-BKHN)