BỘ ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT MỚI CHO HOẠT ĐỘNG
BỀN VỮNG CỦA TAY MÁY ROBOT

 

 

LÊ TẤN DUY

Đại học Đà Nẵng

 

 

TÓM TẮT

           Bài báo này tŕnh bày các nghiên cứu lư thuyết, mô phỏng và thực nghiệm của bộ điều khiển trượt mới cho hoạt động bền vững của tay máy robot bằng cách thay hàm chuyển mạch signum bằng hàm chuyển mạch tích phân-băo ḥa (sat-PI) nhằm giảm hiện tượng chattering và nâng cao chất lượng điều khiển.

 

1. Giới thiệu

            Bài báo này giới thiệu một bộ điều khiển trượt mới, sử dụng hàm chuyển mạch là hàm tích phân-băo ḥa (sat-PI). Việc mô h́nh hóa và nghiên cứu mô phỏng hệ thống điều khiển chuyển động được thực hiện trên nền Matlab-Simulink, sau đó kiểm nghiệm bằng thực nghiệm trên mô h́nh thực tế là robot Gryphon EC. Kết quả trên mô phỏng và thực nghiệm chứng minh được tính đúng đắn và khẳng định việc chọn luật điều khiển trong phương pháp điều khiển trượt đề xuất (sat-PI) đă nâng cao chất lượng và khắc phục được nhược điểm của hệ điều khiển trượt truyền thống.

 

2. Điều khiển trượt hệ thống phi tuyến [5][7]

            Ta xem xét hệ động học sau:     x(n) = a(X) + B(X).u                                             (2.1)

trong đó đại lượng vô hướng x là đầu ra mong muốn, đại lượng vô hướng u là tín hiệu điều khiển đầu vào,  là vectơ trạng thái, a(X) là hàm phi tuyến không biết chính xác và B(X) là ma trận biểu diễn độ khuếch đại điều khiển không biết chính xác.

            Trạng thái ban đầu Xd(0) phải là: Xd(0)  º X(0)                                         (2.2)

                   

            Ngoài ra, ta định nghĩa bề mặt biến thiên theo thời gian s(t) trong không gian trạng thái R(n) bằng phương tŕnh vô hướng S(X;t) = 0 trong đó: S(X;t) =           (2.3)

với l là một hằng số dương. Ví dụ nếu n = 2 th́  tức s là tổng mức ảnh hưởng của sai lệch vị trí và sai lệch vận tốc.

            Việc giữ giá trị vô hướng S bằng 0 có thể giải quyết được bằng cách chọn luật điều khiển u trong (2.1) sao cho ở bên ngoài s(t) ta có:                    (2.4)

trong đó h là hằng số dương. (2.4) cho thấy rằng khoảng cách đến bề mặt s, được tính bằng S2, giảm xuống theo quỹ đạo hệ thống.


           

 

 

V́ thế nó buộc các quỹ đạo hệ thống hướng tới bề mặt s(t) như minh họa trong h́nh 2.1 dưới đây.

 

            Bắt đầu từ điểm xuất phát ban đầu nào đó, quỹ đạo trạng thái chạm đến mặt trượt, sau đó sẽ trượt dọc theo mặt trượt và hướng đến xd với tốc độ hàm mũ, với hằng số thời gian 1/l (h́nh 2.2).

            Tóm lại, từ phương tŕnh (2.3) chọn một hàm S, sau đó chọn luật điều khiển u trong (2.1) sao cho S2 duy tŕ một hàm Lyapunov của hệ thống kín, bất chấp sự thiếu chính xác của mô h́nh và sự có mặt của nhiễu loạn. Tŕnh tự thiết kế do đó sẽ bao gồm 2 bước:

            + Bước một, chọn luật điều khiển u thỏa măn điều kiện trượt (2.4).

            + Bước hai, luật điều khiển không liên tục u đă được chọn trong bước một được làm nhẵn một cách thích hợp để có sự dung ḥa tối ưu giữa dải thông điều khiển và tính chính xác của quỹ đạo, đồng thời khắc phục hiện tượng chattering (h́nh 2.3).

 

3. Phương pháp nâng cao chất lượng hệ điều khiển trượt

            Xét một hệ phi tuyến bậc hai có phương tŕnh trạng thái như sau:

                                                                                                      (3.1)

với là ma trận biểu thị trạng thái của hệ thống.

3.1. Các giả thiết của (3.1)

·         Hàm a(X) không được biết chính xác nhưng có ngưỡng giới hạn

             là một hàm xác định                                                (3.2)

·         Gọi bx là giá trị riêng của B(X), bx min và bx max lần lượt là giá trị riêng nhỏ nhất và lớn nhất của B(X). Đặt bx = (bx max/bx min)1/2, ta được:

                                                                                            (3.3)

3.2. Các bước xây dựng bộ điều khiển trượt

            Sai lệch quỹ đạo:     (3.4)

            + Bước 1: Định nghĩa mặt s(t) như sau:     (3.5)

trong đó lhằng số dương. Nếu n = 2 th́ mặt s(X,t) là:            S(X,t) =  = 0       (3.6)

            + Bước 2: Tính u để cho trạng thái hệ thống tiến về mặt s(t) và nằm trên đó như trên h́nh 2.2.

            Để có được điều đó, xét một hàm năng lượng  của hệ thống kín. Giả sử có điểm cân bằng tại điểm x = 0 tại đó V(x) cực tiểu. Nếu chứng minh được:

                                                                                                          (3.7)

th́ điểm x = 0 được gọi là điểm ổn định.

            Theo nguyên lư ổn định Lyapunov, chọn một hàm:           với S ¹ 0

            Phải làm cho , nghĩa là:          .

            Đây là điều kiện để hệ thống luôn luôn ổn định tiệm cận toàn thể tại S = 0. Khi điều kiện (3.7) được thỏa măn th́ trạng thái của hệ thống luôn luôn được đưa về trên mặt trượt S = 0 và giữ trên đó. Đó là yêu cầu của bước 2. Như vậy phải thiết kế u sao cho điều kiện (3.7) được thỏa măn.

            Ta có:  =                             (3.8)

            Chọn tín hiệu đầu vào theo công thức sau [3]:

                                                                                                                                         (3.9)

trong đó:                                                                                                                        (3.10)

với       sgn(S) = [sgn(S1), ..., sgn(Sn)]T

            K = diag(K1, ..., Kn); Ki > 0 với i = 1, 2, ..., n                                            (3.11)

            Đối với hệ phương tŕnh trạng thái (3.1), nếu các giả thiết (3.2) và (3.3) đều được thỏa măn và luật điều khiển được chọn như trong (3.9) với

                                                   (3.12)

th́ sai số quỹ đạo e = xd – x sẽ hội tụ về 0, nghĩa là xd º x.

 

3.3. Phương pháp lớp biên để làm giảm hiện tượng chattering [6]

            Để khắc phục hiện tượng chattering, thay hàm dấu sgn(S) bằng hàm băo ḥa sat(S):

           

và làm nhẵn tín hiệu điều khiển không liên tục trong một lớp biên mỏng B(t):

                       (3.13)

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

            Lớp này bao quanh mặt trượt S = 0 với bề dày F độ rộng e = F/l.

            Nếu luật điều khiển bảo đảm cho điều kiện trượt (3.7) được thỏa măn ở bên trong lớp biên B(t) th́ sau một thời gian hữu hạn, sai số điều khiển sẽ bé hơn e, nghĩa là:

                                                                                                          (3.14)

            Khi  th́  là hàm liên tục nên tín hiệu sẽ giảm chattering, nhưng xảy ra sai lệch quỹ đạo.

 

3.4. Phương pháp đề xuất (dùng hàm Sat-PI)

            Để giảm hiện tượng chattering và sai lệch quỹ đạo, định nghĩa một hàm tích phân-băo ḥa (sat-PI) như sau:

                                                       (3.15)

trong đó KI là hệ số tích phân dương, to là thời điểm đầu khi trạng thái hệ thống đi vào trong lớp biên B(t).

            Bây giờ thay hàm signum trong luật điều khiển u ở (3.9) bằng hàm tích phân-băo ḥa:

               (3.16)

trong đó ueq và K được chọn như trong (3.10) và (3.12) và .

            Giả sử rằng hệ số tích phân KI được chọn đủ lớn sao cho

                                                                                        (3.17)

            Bất đẳng thức (3.17) có nghĩa s(s) là hàm tăng khi S > 0 và hàm giảm khi S < 0.

            Đối với hệ thống (3.1), nếu các giả thiết (3.2) và (3.3) thỏa măn và luật điều khiển được chọn như trong (3.16), với K được chọn theo (3.12) và s(S) được chọn như (3.15), th́ các quỹ đạo trạng thái luôn hướng về các mặt trượt.

3.4.1. Chứng minh

            Các quỹ đạo trạng thái sẽ hướng về các mặt trượt khi điều kiện mặt trượt thoả măn:

                                                                                 (3.18)

            Điều kiện trượt được viết lại như sau:

                                                                                                                             (3.19)

            Rơ ràng, đối với các trạng thái hệ thống nằm bên ngoài Bi(t) (i = 1, ..., n), luật điều khiển được chọn theo (3.16) (bởi v́ Vi(Si) = sgn(Si)) sẽ đảm bảo rằng các lớp biên là hấp dẫn và do đó tất cả mọi quỹ đạo bắt đầu ở bên ngoài Bi(t) sẽ được đẩy vào trong Bi(t).

            Ở bên trong Bi(t) (i = 1, ..., n), luật điều khiển (3.16) trở thành liên tục nên có thể giảm hiện tượng chattering. Trong (3.17),  có thể tăng đến khi >1. Do đó, điều kiện trượt được thỏa măn và mọi quỹ đạo trạng thái có thể chạm đến mặt trượt ít nhất một lần.

            Bây giờ xét một hệ thống con thứ i. Bất đẳng thức (3.18) có nghĩa rằng:

                                                                                                                                                    (3.20)

            Giả sử với Si » 0 (Si ở lân cận 0).

            Hàm tăng Si khiến cho quỹ đạo trạng thái bị đẩy về nửa bên phải (Si > 0) của mặt trượt Si = 0. Khi Si > 0, tăng theo thời gian như trong (3.17), dẫn đến:

             hoặc                        (3.21)

có nghĩa là điều kiện trượt (3.18) được thỏa măn và quỹ đạo được hướng vào mặt trượt.

            Tiếp tục giả thiết rằng:   với Si » 0 (Si ở lân cận 0).

            Hàm giảm Si khiến quỹ đạo trạng thái được đẩy về nửa bên trái (Si < 0) của mặt trượt Si = 0. Khi Si < 0,  giảm theo thời gian như (3.17), dẫn đến:

             hoặc                       (3.22)

và quỹ đạo được hướng đến mặt trượt tương tự như trên.

3.4.2. Khảo sát hệ số tích phân KI trong (3.15)

·         Khi  th́ s(S) = sgn(S). Luật điều khiển u được xây dựng theo (3.9) bảo đảm điều kiện trượt (3.7) được thỏa măn. Lúc đó hệ số K trong công thức (3.9) của luật điều khiển u được chọn theo (3.12) để  và điều kiện trượt được thỏa măn.

·         Khi  th́ . Ta có:

 

           

 Xét hàm  ở trên trong 2 trường hợp khi 0 £ S £ F, và khi -F £ S £ 0, ta chọn hệ số KI sao cho:          

                                                                        (3.23)

th́  và điều kiện trượt được thỏa măn.

            Với luật điều khiển u được xây dựng theo (3.16) trong đó hàm chuyển mạch s(s) được định nghĩa theo (3.15), nếu ta chọn các hệ số Ki theo (3.12) và ta chọn các hệ số tích phân  theo (3.23) th́  (với i = 1, 2, ..., n), điều kiện trượt được thỏa măn và sai số quỹ đạo ei sẽ hội tụ tiệm cận về 0.

 

4. Kết quả mô phỏng trên mô h́nh mô phỏng robot Gryphon EC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


            - H́nh 4.1: Robot Gryphon EC là loại robot 5 bậc tự do với 3 trục chuyển động và một đầu quay-kẹp chi tiết. Mỗi trục được truyền động bằng một động cơ Servo đồng bộ nam châm vĩnh cữu, điều khiển theo ṿng kín.

            - H́nh 4.2: Mô h́nh mô phỏng robot Gryphon EC trên nền Matlab-Similink.

            Qua việc chạy thử với các giá trị khác nhau của các hệ số l, f và KI để có được các đường biểu diễn tốt, cuối cùng ta chọn các hệ số cho các trục như bảng 4.1 với tải mt = 0,2 kg.

            Kết quả mô phỏng được thể hiện trên các h́nh 4.3 và 4.4.

 

                                            4.1. Mômen tác động lên các trục                                                                         4.2. Sai lệch quỹ đạo không gian

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


5. Kết quả thực nghiệm trên robot Gryphon EC

 

                            5.1. Mômen tác động lên các trục                                                                                            5.2. Sai lệch quỹ đạo không gian

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


                                                                                                                                                                                               

 

 

 

Bảng 4.1:

 

l

f

KI

Trục 1

0.2

7

20

Trục 2

0.3

5

25

Trục 3

0.25

6

22

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 


6. Kết luận

            Phương án dùng hàm chuyển mạch sat-PI đă được đề xuất trong bài báo. Thuật toán đưa ra có khả năng điều khiển hệ phi tuyến bậc cao giảm đáng kể chattering, sai lệch quỹ đạo điều khiển thấp hơn so với hàm sat, hệ điều khiển làm việc ổn định, ít chịu ảnh hưởng của tải, do đó chất lượng điều khiển được cải thiện đáng kể. Ngoài ra, phương án c̣n có ưu điểm là khối lượng tính toán nhỏ, thuật điều khiển ít phức tạp, đáp ứng nhanh, hệ thống kín ổn định. Việc so sánh các kết quả mô phỏng giữa các trường hợp hàm signum, hàm sat và hàm sat-PI đă minh chứng tính đúng đắn của thuật toán đă nêu ra trong việc nâng cao chất lượng của hệ điều khiển.

            Cấu trúc mô h́nh thực nghiệm đă được xây dựng trên một đối tượng có tính phi tuyến mạnh là robot Gryphon EC với 3 bậc tự do và qua kết quả thực nghiệm đă khẳng định tính đúng đắn của kết quả nghiên cứu, cho thấy thuật toán đề xuất hoàn toàn có thể ứng dụng vào thực tế điều khiển các hệ thống động lực học có tính phi tuyến mạnh, có yêu cầu đáp ứng nhanh và chính xác.

 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

 

[1]               Lê Tấn Duy, Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ tay máy robot, Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Đà Nẵng, số 4/2003.

[2]               Lê Tấn Duy, Điều khiển trượt cho tay máy robot hai bậc tự do, Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Đà Nẵng, số 1(5)/2004.

[3]               K.S. Fu, Robotics Control, Sensing, vision and intelligence, Graw Hill, Inc. 1987.

[4]               Y.Itkis, Control systems of variable structure, New York, Wiley, 1976.

[5]               V.A.Utkin, Sliding Modes and Their Application in Variable Structure Systems, Moscow, Mir 1987.

[6]               J.J.E Slotine and S.S Satry, Tracking control of nonlinear systems using sliding surface with application to robot manipulator, Int. J. Control, vol 38, no. 2, pp. 465-492, 1983.

[7]               J.J.E Slotine and W.Li, Applied nonlinear control, Prentiee Hall, Englewood Cliff, New Jersey, 1991.

[8]               J.J.E Slotine and S.Asada, Robot analysis and control, A. Wiley-Interscience Publication, John Wiley& Sons, Inc. 1986.

 

 

EYETECK.VN

Theo: Tạp chí Khoa học & Công nghệ - BKĐN